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极点极线，是高等几何中一个基本概念，一直以来，也是我想写又没写成的东西。想写，是因为在圆锥曲线中，它确实太重要了。而没写成，当然是害怕自己写的东西，不能让中学生看得明白，并想的清楚。因此，这个内容也就一直拖到了现在。因为，以“极点极线”为背景的试题，经常会在高考和各级竞赛之中出现，而且相信很多同学也都是感兴趣的。所以，还是要好好的写一篇，以自己认为最好的视角，去向广大中学生作一推介。其实，这个知识点本身，同学都是不陌生的。毕竟，圆锥曲线中的切线、切点弦、圆锥曲线内接四边形、定点定值等，这些圆锥曲线中最常见的问题，大多都和“极点极线”有一定的关联。所以，熟悉“极点极线”以及与其相关的知识，更能抓住相关问题的本质，从而更高效地整理思路，甚至解决问题。这篇推文就以中学生的视角，来相对系统地介绍交比、调和点列、内接四边形、Apollonius 圆、极点和极线等的重要概念及性质，力求溯本求源，用最朴素的文字，去揭示相关问题的本质。

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圆锥曲线的王者：极点极线

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第一个知识点，当然就是“极点极线”本身的知识了。为了快速满足好奇心，还是直接先上结论吧。

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如果解析几何的基础尚好，这个东西，是不是有很熟悉的感觉呢？当然，至于上面的“点”与“直线方程”，是我们首先要重点交待的东西。有人把它们统称为“三线一方程”。“三线”，其实也就是按照点与曲线的三种不同位置关系，而对方程意义的三种不同解读。

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关于点在曲线内，其实，下面这个才是它最一般的状态，

那么，你能用文字语言说出它的特征吗？

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而“一方程”，是指一种特殊情况下的直线，也是我们最喜欢的“中点弦”。

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嗯，关于“中点弦”，记得以前经常用“点差法”求得。那种计算过程的简洁，相信你也和我一样，往往还会忍不住的沾沾自喜过吧。但其实，它也只是“极点极线”的一种特例而已。当然，对于初次接触的同鞋来说，还是应该友好一点，给个例子，才能觉得更加的清楚直白。至于曲线，那就不妨以最熟悉的“椭圆”为例吧。

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其实，三种情况下的极线的证明过程，因为主要用到了同构的思想，计算量还是比较小的。但还是一定要提醒，对于上面的证明过程，希望同学都能认真的推敲一下。因为，如果是解答题，这个过程可能是要表达出来的。毕竟，总不能一上来，写个结论就OK了吧。那样，不仅是突兀，得分也觉心里不安。而且，从上面的几个图中，也不难看出一个非常重要的现象，就是极点、极线与曲线的位置关系，好象正好是相反的。依然拿椭圆为例来说明：极点在椭圆内，极线与椭圆相离；极点在椭圆上，极线与椭圆相切；极点在椭圆外，极线与椭圆相交。

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显然，从这个过程上来看，凡是直线与曲线位置关系的判断，应该都是可以用类似思路去分析的。当然，要首先将直线方程稍微改造一下，写成极点的模样。关于这个极线方程的写法，最后再谈一下记忆的问题。我一般是按照下面这种思路记忆的：平方换成积一次方换成平均数交叉项换成梅花积的平均数或者，就象下面这样，来一个“保一换一”也可以。

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定比分点的尽头：调和点列

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‍‍‍‍‍关于“极点极线”，其实上面的这个方程，我认为只是一道开胃小菜，还远没有触及到它的根本。记得以前的旧版教材里，有一个很重要的知识点——定比分点。如果点P在线段AB上，则满足

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的点P是唯一存在的。

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而且，如果从向量的角度去思考，还可以得到一个很重要的结论。

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这个结论，以前教材里称为“定比分点”的坐标公式。其实用起来还是挺方便的。比如中点的坐标公式，便是它的特例。可惜现在教材里都删除了，真要用时，还需要用向量共线作简单的推导。对这个作进行一步的思考：如果将线段AB改为直线AB呢？此时，满足条件

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的点P就应该有两个了。我们不妨设另一个满足条件的为点Q，即

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。

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这个时候，我们就称点A,P,B,Q为调和点列。也称P,Q调和分割A,B，点P,Q分别称为线段AB的内分点和外分点。而且，如果点A,P,B,Q为调和点列，即

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，也能得到：

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。那么自然的，点Q,B,P,A也为调和点列。当然，这个说起来，还是有点抽象和啰嗦的。所以，对于调和点列，除了了解这个概念，我认为最重要的，要知晓下面两个很直观的性质：

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你还记得调和平均数吗？就是那个《基本不等式》里的重要不等式链。

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文字语言可以这样表述：对于任意两个正数，它们的

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如果进一步的话，调和点列的这个性质，也可以写成这样：

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这样，式子右边，是不是就是一个“调和平均数”了呢？也许，“调和点列”的名称，正是由此而来的吧。当然，因为点A,P,B,Q为调和点列时，Q,B,P,A也为调和点列。所以，也应该有：

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想起来有点玄乎，但其实看起来，也就是四个点的顺序和逆序都是调和点列而已。

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其实，除了这两个，还有好几个类似的性质。只是我觉得在中学阶段，都不太常见，就忽略了。但是，抛开这两个性质不谈，调和点列最核心的，还是两个分点到线段两端点的距离之比为定值，也就是它的定义。

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写成文字，这句话是不是就觉得熟悉一些呢？是不是也能想起，大家耳熟能详的隐圆——“阿波罗尼斯圆”呢。原来，阿波罗尼斯圆，也还有一个前辈，那就是——“调和点列”！其实说白了，阿波罗尼斯圆，也仅仅只是圆的一个性质而已。至于其它的曲线，一定也会有类似的一些性质。我们依然以椭圆为例，来研究一下类似的性质。其实也就是想研究一下调和点列与极点极线的关系。

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对于上面这个给定的椭圆和直线，我们过点P任作椭圆的一条割线，交椭圆于A,B两点，如果点Q在直线AB上，则点Q也在直线l上的充要条件是:

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也就是点P,A,Q,B构成调和点列即

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当然，说点B,Q,A,P是调和点列也是可以的。

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而且，不论点P在椭圆内，还是在椭圆外，这个充要条件，也都是成立的。

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可以将它概括成两个命题，再证明一下：

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其实，对于这个证明过程，相信大家应该都不陌生的。不错，除了三点共线的处理，就是“定比点差法”。所以对于点差法，除了常见的以外，要知道还有定比点差法，甚至还有一个常见的，叫截距点差法。唉，我只能说，学无止境，学习真的要戒骄戒燥，活到老，学到老。

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从这个充分条件和必要条件的证明过程来看，其中起主要作用的有两个：一是定比分点的坐标公式，另一个是定比点差法。关于这个定比点差法，如果有些不理解，可以参考下“素人素言”里的推文《比“点差法”更高级的“定比点差法”》这篇推文。而且从上面的证明过程中，我们还发现了一个有趣的结论：点Q所在直线

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，其实就是点P的极线

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。也就是说，点Q的坐标是满足点P的极线方程的，那么就有：

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而这个有趣的结论，又被人们称为“配极原理“。

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而这个原理，也可以为后面的“自极三角形”做个小铺垫了。上面说的是过点P作曲线的一条割线，得到了两个比值的相等，有时又简称为交比问题。因此，如果以后遇到交比问题时，我们都是可以考虑是否是极点极线问题的。

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第一问当然是没有问题的。第二问涉及到线段的乘积关系，直接按长度处理，当然也是yuchun的。所以，果断将它变形为交比的形式。当然，熟悉极点极线的同学，一定会先确定好线段起始点和两个分点，考虑适当的线段组合。

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过程还是很轻松和流畅的。但要特别注意的是，虽然我们知道，因为有比值相等，可以考虑点Q应该在点P的极线上。但是，整个的证明过程，还是要注意它的规范性。所以，前面的理论证明，真的还是很重要。为了保证解题速度，记住它也很重要。但其实想明白了，也没那么复杂，就是定比分点坐标和定比点差法了。

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调和点列附近:自极三角形

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上面说的，是过定点作曲线的一条割线，产生了调和点列。那么，过定点作曲线的两条割线，又会产生什么呢？其实，如果真的作两条，确实还能产生一个很特殊的图形——自极三角形。还是以椭圆为例，先上定义吧。

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其实简洁一点，定义说的就是，在自极三角形PMN中：点P的极线是MN，点M的极线是PN，点N的极线是PM。我们都知道，两条割线与椭圆共有四个交点，构成一个内接四边形。因此，说的简单一点，对于椭圆的内接四边形来说，所谓的自极三角形，其实就是四边形对角线交点和两对边交点构成的三角形。

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而内接四边形，在平面几何中，恰恰是极其常见的。因此，这个自极三角形，也就成为了圆锥曲线命题的一个重背景。

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虽然说，高手过招，点到即止。但是，作为本题核心的第二问，总不能就这样子完结了吧？毕竟，作为高考题，必要的严肃和严谨性，还是要有的。所以，在中学阶段，这个过程，也不能直接用“自极三角形”作为核心的说理依据。因此，熟悉自极三角形虽然很重要，但其证明过程，一定是不容忽视的。

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其实，因为有了对自极三角形的了解，这个过程是相当于先猜后证的了。对于不熟悉这个三角形的同学来说，过程可能显得有些玄幻，但是不能否认的，是这个证明过程的严谨性。而这，就已经足够了。从上面的例题中可以看出，如果是两条割线与曲线相交，以后也可以将背景设置为曲线的内接四边形的。因此，在处理这类问题时，敏锐的观察就显得尤为重要。

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证明MN的斜率为定值，当然最好的状态就是求出它的方程了。这样，不就能想到自极三角形了吗！当然，证明过程还是要把极点极线方程的写法走个过场。

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为了试着对自极三角形进行证明，很认真的解了一遍这个题。

而且用了是最常见的代数法。

也只有真正做过的才知道，按部就班的过程，真的是太烦琐了。

和例4的过程相比较，有天堂到地狱的感觉吧。

写在最后：

适逢五一假期，花了一些时间写了这篇推文。美中不足的，因身体原因，也不能太过完善。

但对一般同学来说，了解极点极线，估计这篇是已经够了的。

更希望对学习解析几何的同学，有一丝启迪。

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